和S_nと一般項a_nが混在する漸化式の解き方【和Sn混在型】

（注意）【～型】はパターンを意識するためであり，当サイト独自の表現です。答案などに書かないようにしてください。

ここでは，和 $S_n$ と一般項 $a_n$ が混在している漸化式の解き方について確認します。

【$S_n$ 混在型】和 $S_n$ と一般項 $a_n$ が混在する漸化式

(例) $S_n=-2a_n-2n+5$

【$S_n$ 混在型】の解法

この型は，和と一般項の関係から，$a_{n+1}$ と $a_n$ の関係式にする方針で解きましょう。

補足（[2]について）
数列の和Snが与えられているときの一般項a_nの求め方のページでは，和と一般項の関係を次のように書いていました。
[1] $a_1=S_1$
[2] $n\geqq 2$ のとき $a_n=S_n-S_{n-1}$

[2]が少しだけ違うように見えますが，どちらも「ひとつ手前までの和を引く」という意味の同じ式になっています。式の丸暗記ではなく，しっかり意味で理解していれば何も問題ありませんね。
$a_{n+1}=S_{n+1}-S_n$ は $n=1$ のとき $a_2=S_2-S_1$ となり成り立つので，「$n\geqq 2$ のとき」は不要です。

同じ意味の式なので，どちらを使っても問題を解くことは可能ですが，漸化式の問題の場合，$a_{n+1}$ と $a_n$ の関係式が欲しいので，$a_{n+1}=S_{n+1}-S_n$ を使って考えます。

【$S_n$ 混在型】漸化式の問題と解説

問題

解説（授業）

$S_n=2a_n+2n-3$

和 $S_n$ と一般項 $a_n$が混在しているので，和と一般項の関係から，$a_{n+1}$ と $a_n$ の関係式を作る方針で解きます。

[1] $a_1=S_1$
[2] $a_{n+1}=S_{n+1}-S_n$

まず漸化式に $n=1$ を代入し，[1]を利用することで初項 $a_1$ が求まります。
$S_n=2a_n+2n-3$ に $n=1$ を代入すると，
$S_1=2a_1-1$
$a_1=S_1$ より　$a_1$ $=2a_1-1$
よって，$a_1=1$

次に[2]を利用することで，
$a_{n+1}$ と $a_n$ の関係式(漸化式)が得られます。

$S_n=2a_n+2n-3$
$S_{n+1}=2a_{n+1}+2(n+1)-3$
　　$=2a_{n+1}+2n-1$

$a_{n+1}=S_{n+1}-S_n$ より

$a_{n+1}$ $=$ $(2a_{n+1}+2n-1)$
　 　 　 $-$ $(2a_n+2n-3)$
　 　 $=2a_{n+1}-2a_n+2$
よって，
$a_{n+1}=2a_n-2$

[1]と[2]により，
$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n-2$
が得られました。
あとは，この漸化式から $a_n$ を求めるだけですが，どのパターンかすぐに言えますか？
【特殊解型】です。漸化式最重要パターンですね。

$\alpha =2\alpha -2$ を解くと $\alpha =2$ であるから，
$a_{n+1}-2=2(a_n-2)$ 【等比型】
と変形するんでしたね。
$\{a_n-2\}$ は，
初項 $a_1-2=-1$，公比 $2$ の等比数列より，
$a_n-2$ $=$ $-1$ $\cdot$ $2^{n-1}$ $=-2^{n-1}$
よって，$-2$ を移項して
$a_n=-2^{n-1}+2$　(答)

解けました。
和と一般項が絡む問題は，とにかく和と一般項の関係を使うのが鉄則です。
使う $2$ 式をしっかり頭に入れておきましょう。ただし，式の丸暗記ではなく意味を理解して覚えてくださいね。

答案

$S_n=2a_n+2n-3$

$n=1$ を代入して　$S_1=2a_1-1$

$a_1=S_1$ より　$a_1$ $=2a_1-1$

よって，

$a_1=1$

$S_{n+1}=2a_{n+1}+2(n+1)-3$

　　$=2a_{n+1}+2n-1$ であり，

$a_{n+1}=$ $S_{n+1}$ $-$ $S_n$ より

$a_{n+1}=$ $(2a_{n+1}+2n-1)$

　　　　　$-$ $(2a_n+2n-3)$

整理して，

$a_{n+1}=2a_n-2$ 【特殊解型】

変形して

$a_{n+1}-2=2(a_n-2)$ 【等比型】
[$\alpha =2\alpha -2$ を解くと $\alpha =2$]

よって $\{a_n-2\}$ は，
初項 $a_1-2=-1$，公比 $2$ の等比数列より，
$a_n-2$ $=$ $-1$ $\cdot$ $2^{n-1}$ $=-2^{n-1}$

よって，

$a_n=-2^{n-1}+2$　(答)

和 $S_n$ と一般項 $a_n$ が混在する漸化式がこれで「解ける！」

【和 $S_n$ 混在型】和 $S_n$ と一般項 $a_n$ が混在する漸化式