（注意）【～型】はパターンを意識するためであり，当サイト独自の表現です。答案などに書かないようにしてください。
ここでは連立漸化式のうち，係数が対称となっているものを扱います。係数が対称というと特別な場合のように感じるかもしれませんが，入試ではむしろ頻出なので，優先度は高いです。解法さえ知っていれば難しくないので，しっかり確認しましょう。係数が対称でない連立漸化式の解き方を確認したい人は【発展】係数が対称でない連立漸化式（一般型）の解き方をご覧ください。
連立漸化式（対称係数型）
【対称係数型】$\begin{cases}a_{n+1}=pa_n+qb_n \\b_{n+1}=qa_n+pb_n \end{cases}$
(例) 係数が対称
$\begin{cases}a_{n+1}=2a_n+5b_n\\b_{n+1}=5a_n+2b_n \end{cases}$
連立漸化式（対称係数型）の解法
係数が対称の場合の連立漸化式は，以下のことをパターンとして暗記しておく。
連立漸化式（対称係数）の問題と解説
それでは，実際の問題の解説の中で詳しく説明していきますね。
問題
解説（授業）
係数が対称なので，
和$(①+②)$ と 差$(①-②)$ をとって，
$\left\{a_n+b_n\right\}$ と $\left\{a_n-b_n\right\}$ をそれぞれ【等比型】とみる！
という方針で解きます。
$①+②$ を考えてみると，
$a_{n+1}+b_{n+1}=5(a_n+b_n)$【等比型】
となりますが，$a_n+b_n$ をひとかたまりと見れば
よって，$\left\{a_n+b_n\right\}$ は，
初項 $a_1+b_1=3$，公比 $5$ の等比数列より，
$a_n+b_n$ $=$ $3$ $\cdot$ $5^{n-1}$ ･･･③
同様にして，$①-②$ を考えてみると，
$a_{n+1}-b_{n+1}=a_n-b_n$【等比型】
よって，$\left\{a_n-b_n\right\}$ は，
初項 $a_1-b_1=-1$，公比 $1$ の等比数列より，
$a_n-b_n$ $=$ $-1$ $\cdot$ $1^{n-1}$
したがって，
$a_n-b_n=-1$ ･･･④
となりますね。
$a_{n+1}-b_{n+1}=a_n-b_n$ を【等比型】として解きましたが，今回の場合は以下のように考えると，より簡単に求まります。
$a_n-b_n=a_{n-1}-b_{n-1}$
$=･･･=a_1-b_1=-1$
一瞬ですね。何をしているか分かりますか？
一般に $a_{n+1}=a_n$ のとき $\left\{a_n\right\}$ は定数列(ずっと同じ数が続く数列)となり，$a_n=a_1$ となります。
今回の場合，$a_{n+1}-b_{n+1}=a_n-b_n$ という式を見て $\left\{a_n-b_n\right\}$ が定数列となっていることに気付けば，初項だけ考えれば一般項 $a_n-b_n$ が求まるということですね。
さて，
和と差をとることで，
$a_n+b_n=3\cdot5^{n-1}$ …③
$a_n-b_n=-1$ …④
という $2$ 式が得られますが，このあとどうすれば $a_n$ と $b_n$ が求まるか分かりますか？
分からないものが $a_n$ と $b_n$ の $2$ つ，
式が $2$ つ
の状態なので，連立方程式を解くように求めれば良さそうですね。
(分からないものの個数だけ式を用意すれば求まるというのが，数学における最重要事項の $1$ つでしたね)
$③+④$ より $b_n$ を消去して
$2a_n=3\cdot5^{n-1}-1$
$2$ で割って
$a_n=\displaystyle\frac{1}{2}(3\cdot5^{n-1}-1)$ (答 $a_n$)
$③-④$ より $a_n$ を消去して
$2b_n=3\cdot5^{n-1}+1$
$2$ で割って
$b_n=\displaystyle\frac{1}{2}(3\cdot5^{n-1}+1)$ (答 $b_n$)
解けましたね。和と差をとることさえ知識として入れておけば，特に難しくない問題ですね。
絶対に落とせないレベルの問題であるため，確実に解けるようにしておきましょう。
(参考) $b_n$ は次のように求めてもよい
$a_n=\displaystyle\frac{1}{2}(3\cdot5^{n-1}-1)$
を求めたあと，
$a_n-b_n=-1$ …④
より，
$b_n$ $=$ $a_n$ $+$ $1$
よって，
$b_n$ $=$ $\displaystyle\frac{1}{2}(3\cdot5^{n-1}-1)$ $+$ $1$
$=\displaystyle\frac{1}{2}(3\cdot5^{n-1}-1+2)$
$=\displaystyle\frac{1}{2}(3\cdot5^{n-1}+1)$
答案
$a_{n+1}=3a_n+2b_n$ ･･･①
$b_{n+1}=2a_n+3b_n$ ･･･②
$①+②$ より，
$a_{n+1}+b_{n+1}=5(a_n+b_n)$ 【等比型】
$\left\{a_n+b_n\right\}$ は，
初項 $a_1+b_1=3$，公比 $5$ の等比数列より，
$a_n+b_n=3\cdot5^{n-1}$ …③
$①-②$ より，
$a_{n+1}-b_{n+1}=1(a_n-b_n)$ 【等比型】
$\left\{a_n-b_n\right\}$ は，
初項 $a_1-b_1=-1$，公比 $1$ の等比数列より，
$a_n-b_n=-1\cdot1^{n-1}$
∴ $a_n-b_n=-1$ …④
③，④ より
$a_n=\displaystyle\frac{1}{2}(3\cdot5^{n-1}-1)$
$b_n=\displaystyle\frac{1}{2}(3\cdot5^{n-1}+1)$ (答)
連立漸化式（対称係数型）がこれで「解ける！」
【対称係数型】$\begin{cases}a_{n+1}=pa_n+qb_n \\b_{n+1}=qa_n+pb_n \end{cases}$
