n乗を含む漸化式の解き方【○^n型(n乗型)】

(注意) 【～型】はパターンを意識するためであり，当サイト独自の表現です。答案に書かないように。

ここでは，$2^n$ のような $n$ 乗を含むような漸化式の解法について扱います。難易度はそこまで高くなく，頻出パターンなので確実に解けるようにしましょう。

【$\text{○}^n$ 型】$a_{n+1}=pa_n+q^n$ ($n$ 乗を含む漸化式)

(例) $a_{n+1}=$ $2$$a_n+$ $3^{n+2}$

この型は，次の２パターンの解法を覚えておきましょう。

【$\text{○}^n$ 型】漸化式の解法２パターン

$a_{n+1}=$ $p$$a_n+$ $q^{n}$【$\text{○}^n$ 型】

上の例であれば，

[1] 両辺 $3^{n+1}$ で割って，$\displaystyle\frac{a_{n}}{3^n}=b_n$ とおく

[2] 両辺 $2^{n+1}$ で割って，$\displaystyle\frac{a_{n}}{2^n}=b_n$ とおく

の，好きな方を選択して解けば良い。

どちらか一方の解法を知っていれば解けますが，どちらかに誘導される場合もあるため両方できた方がベターです。

【階差型】はやや面倒なので，特に誘導がない場合は，解法[1]を選んだ方が少しラクに解くことができます。

$n$ 乗を含む漸化式の問題と解説

それでは，【$\text{○}^n$ 型】の問題を，[1]と[2]それぞれの解法で解いてみましょう。

問題

解説（解法[1]）

$a_{n+1}=3a_n$ $+$ $2^{n}$

[1] 両辺 $2^{n+1}$ で割って，$\displaystyle\frac{a_{n}}{2^n}=b_n$ とおく
　という方針で解いてみましょう。

漸化式の両辺を $2^{n+1}$ で割ると，

$\displaystyle\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}=\displaystyle\frac{3a_{n}}{2^{n+1}}+\displaystyle\frac{2^n}{2^{n+1}}$

となりますが，$\displaystyle\frac{a_{n}}{2^n}=b_n$ とおくことを意識して整理すること。

$\displaystyle\frac{3a_{n}}{2^{n+1}}$ は，$n$ の部分をそろえるために，

$2^{n+1}=2\cdot2^n$ とし，

$\displaystyle\frac{3a_{n}}{2^{n+1}}=\displaystyle\frac{3a_{n}}{2\cdot2^{n}}=\displaystyle\frac{3}{2}$ $\cdot$ $\displaystyle\frac{a_n}{2^{n}}$

よって，

$\displaystyle\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}=\displaystyle\frac{3}{2}\cdot\displaystyle\frac{a_{n}}{2^{n}}+\displaystyle\frac{1}{2}$

$\displaystyle\frac{a_{n}}{2^n}=b_n$ とおくと，

$b_{n+1}$ $=\displaystyle\frac{3}{2}$$b_n$ $+\displaystyle\frac{1}{2}$ 【特殊解型】

となるため，初項 $b_1$ さえ分かれば $b_n$ が求まりますね。
$\displaystyle\frac{a_{n}}{2^n}=b_n$ より $b_1=\displaystyle\frac{a_1}{2^1}=1$

$\alpha=\displaystyle\frac{3}{2}\alpha+\displaystyle\frac{1}{2}$ を解くと $\alpha=-1$

よって，
$b_{n+1}+1=\displaystyle\frac{3}{2}(b_n+1)$ と変形して，
$\left\{b_n+1\right\}$ を等比数列と見て解く！

$\left\{b_n+1\right\}$ は，
初項 $b_1+1=1+1=2$，
公比 $\displaystyle\frac{3}{2}$ の等比数列より，
$b_n+1$ $=$ $2$ $\cdot$ $\left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)^{n-1}$
よって，$1$ を移項して，
$b_n=2\left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)^{n-1}-1$

土台となる４パターンさえ習得していれば，これらの形にできた時点で解けることが確定しますね。（そう思えるくらいになろう！）

$b_n$ が求まったので，あとは，
$\displaystyle\frac{a_{n}}{2^{n}}=b_n$ から $a_n=2^{n}b_n$
として，$a_n$ を求めて終わりですね。最後まで気を抜かずに計算しましょう。

$a_n=2^n\left\{2\left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)^{n-1}-1\right\}$

　 $=2^n\cdot2\left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)^{n-1}-2^n$

　 $=2^{n+1}\cdot\displaystyle\frac{3^{n-1}}{2^{n-1}}-2^n$

　 $=4\cdot3^{n-1}-2^n$　（答）

はい，できました！
次の，実際の答案で流れを確認してください。

答案（解法[1]）

$a_{n+1}=3a_n+$$2^{n}$

漸化式の両辺を $2^{n+1}$ で割ると，

$\displaystyle\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}=\displaystyle\frac{3a_{n}}{2^{n+1}}+\displaystyle\frac{2^n}{2^{n+1}}$

よって，

$\displaystyle\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}=\displaystyle\frac{3}{2}･\displaystyle\frac{a_{n}}{2^{n}}+\displaystyle\frac{1}{2}$

$\displaystyle\frac{a_{n}}{2^{n}}=b_n$ とおくと，

$b_{n+1}$ $=\displaystyle\frac{3}{2}$$b_n$ $+\displaystyle\frac{1}{2}$ 【特殊解型】

変形して，

$b_{n+1}+1=\displaystyle\frac{3}{2}(b_n+1)$ 【等比型】

$b_1=\displaystyle\frac{a_1}{2^1}=1$ であるから，

$\left\{b_n+1\right\}$ は，

初項 $b_1+1=1+1=2$，

公比 $\displaystyle\frac{3}{2}$ の等比数列より，

$b_n+1$ $=$ $2$ $\cdot$ $\left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)^{n-1}$

よって，$b_n=2\left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)^{n-1}-1$

$\displaystyle\frac{a_{n}}{2^{n}}=b_n$ より $a_n=2^{n}b_n$ であるから，

$a_n=2^n\left\{2\left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)^{n-1}-1\right\}$

　 $=4\cdot3^{n-1}-2^n$　(答)

別解の解説（解法[2]）

$a_{n+1}=$$3$$a_n+2^{n}$

[2] 両辺 $3^{n+1}$ で割って，$\displaystyle\frac{a_{n}}{3^n}=b_n$ とおく
　という方針で解いてみましょう。

$3^{n+1}$ で割って，

$\displaystyle\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}}=\displaystyle\frac{3a_{n}}{3^{n+1}}+\displaystyle\frac{2^n}{3^{n+1}}$

$\displaystyle\frac{3a_{n}}{3^{n+1}}=\displaystyle\frac{a_{n}}{3^{n}}$
$\displaystyle\frac{2^n}{3^{n+1}}=\displaystyle\frac{2^n}{3\cdot3^{n}}=\displaystyle\frac{1}{3}\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^n$
として，

$\displaystyle\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}}=\displaystyle\frac{a_{n}}{3^{n}}+\displaystyle\frac{1}{3}\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^n$

$\displaystyle\frac{a_{n}}{3^n}=b_n$ とおくと

$b_{n+1}$ $=$ $b_n$ $+$$\displaystyle\frac{1}{3}\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^n$ 【階差型】

となるので，階差数列から一般項を求める公式により $b_n$ を求めることができますね。
初項 $b_1$ が必要になるので，求めておきましょう。
$b_1=\displaystyle\frac{a_{1}}{3^1}=\displaystyle\frac{2}{3}$

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}{\displaystyle\frac{1}{3}\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^k}$ は，
初項 $\displaystyle\frac{2}{9}$，公比 $\displaystyle\frac{2}{3}$，項数 $n-1$ の等比数列の和であるから，

$b_n$ $=$ $b_1$ $+$ $\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}{\displaystyle\frac{1}{3}\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^k}$

　 $=$ $\displaystyle\frac{2}{3}$ $+$ $\displaystyle\frac{2}{9}\cdot\displaystyle\frac{1-\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{n-1}}{1-\displaystyle\frac{2}{3}}$
あとは，頑張って計算しましょう。
　 $=$ $\displaystyle\frac{2}{3}$ $+$ $\displaystyle\frac{2}{9}\cdot\displaystyle\frac{1-\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{n-1}}{\displaystyle\frac{1}{3}}$
分母の $\frac{1}{3}$ を逆数にして外に出して
　 $=\displaystyle\frac{2}{3}+\displaystyle\frac{2}{3}\cdot\left\{1-\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{n-1}\right\}$
展開して計算して
　 $=\displaystyle\frac{4}{3}-\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{n}$
$b_1=\frac{4}{3}-\frac{2}{3}=\frac{2}{3}$ ($n=1$ のときの確認)
これは，$n=1$ のときも成り立つ。
よって，
$b_n=\displaystyle\frac{4}{3}-\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{n}$
あとは，$\displaystyle\frac{a_{n}}{3^n}=b_n$ から $a_n=3^{n}b_n$ として $a_n$ を求めましょう。
$a_n=3^n\left\{\displaystyle\frac{4}{3}-\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{n}\right\}$

　 $=3^n \cdot \displaystyle\frac{4}{3}-3^n \cdot\displaystyle\frac{2^n}{3^n}$

　 $=4\cdot3^{n-1}-2^n$　(答)

できましたが，解法[1]より少し大変ですね。
階差数列が絡むとどうしても面倒なので，解法[2]に誘導されない限り，解法[1]を選ぶことをオススメします。

別解の答案（解法[2]）

$a_{n+1}=$$3$$a_n+2^{n}$

両辺を $3^{n+1}$ で割ると、

$\displaystyle\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}}=\displaystyle\frac{3a_{n}}{3^{n+1}}+\displaystyle\frac{2^n}{3^{n+1}}$

よって，

$\displaystyle\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}}=\displaystyle\frac{a_{n}}{3^{n}}+\displaystyle\frac{1}{3}\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^n$

$\displaystyle\frac{a_{n}}{3^n}=b_n$ とおくと，

$b_{n+1}$ $=$ $b_n$ $+\displaystyle\frac{1}{3}\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^n$ 【階差型】

$b_1=\displaystyle\frac{a_{1}}{3^1}=\displaystyle\frac{2}{3}$ より，$n≧2$ のとき，

$b_n=b_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}{\displaystyle\frac{1}{3}\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^k}$

　 $=\displaystyle\frac{2}{3}+\displaystyle\frac{2}{9}\cdot\displaystyle\frac{1-\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{n-1}}{1-\displaystyle\frac{2}{3}}$

　 $=\displaystyle\frac{2}{3}+\displaystyle\frac{2}{3}\cdot\left\{1-\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{n-1}\right\}$

　 $=\displaystyle\frac{4}{3}-\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{n}$

これは，$n=1$ のときも成り立つ。

よって　$b_n=\displaystyle\frac{4}{3}-\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{n}$

$\displaystyle\frac{a_{n}}{3^{n}}=b_n$ より $a_n=3^{n}b_n$ であるから，

$a_n=3^n\left\{\displaystyle\frac{4}{3}-\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{n}\right\}$

　 $=4\cdot3^{n-1}-2^n$　(答)

$n$ 乗を含む漸化式がこれで「解ける！」

【$\text{○}^n$ 型】$a_{n+1}=$$p$$a_n+$$q^n$