分数の形になっている漸化式の解き方【基本分数型】

(注意) 【～型】はパターンを意識するためであり，当サイト独自の表現です。答案に書かないように。

 　分数の形の漸化式の中でも最も頻出である【基本分数型】について扱います。

【基本分数型】$a_{n+1}=\displaystyle\frac{pa_n}{qa_n+r}$

（例)　$a_{n+1}=\displaystyle\frac{3a_n}{2a_n-1}$

【基本分数型】の解法

【基本分数型】の漸化式は，
$a_n\not=0$ を確認後，
逆数をとって $\displaystyle\frac{1}{a_n}=b_n$ とおくことで別の型に帰着します。

(参考)

$a_{n+1}=\displaystyle\frac{pa_n}{qa_n+r}$

逆数をとると，

$\displaystyle\frac{1}{a_{n+1}}=\displaystyle\frac{qa_n+r}{pa_n}$

$\displaystyle\frac{1}{a_{n+1}}=\displaystyle\frac{q}{p}+\displaystyle\frac{r}{pa_n}$

よって，

$\displaystyle\frac{1}{a_{n+1}}=\displaystyle\frac{r}{p}･\displaystyle\frac{1}{a_n}+\displaystyle\frac{q}{p}$

$\displaystyle\frac{1}{a_n}=b_n$ とおくと

$b_{n+1}=\displaystyle\frac{r}{p}b_n+\displaystyle\frac{q}{p}$

覚えておく必要はないけど，

$\displaystyle\frac{r}{p}=1$ すなわち $p=r$ のとき【等差型】

$\displaystyle\frac{r}{p}\not=1$ すなわち $p\not=r$ のとき【特殊解型】

となります。

【基本分数型】の注意①

【基本分数型】は分子が $a_n$ の項 1 つのみ。

$a_{n+1}=\displaystyle\frac{2a_n+1}{3a_n-1}$ 【一般分数型】

のような漸化式は逆数をとっても意味がありません。このパターンは別記事で扱いますが難易度が高く，ほぼ誘導が入ります。

【基本分数型】の注意②

分母を払った

$ra_{n+1}=pa_n-qa_{n+1}a_n$

という形で出題される場合もあります。
しかし，漸化式（２項間）はとにかく 「$a_{n+1}=～$」 に直す癖をつけておけば問題ありません。
実際に直してみると，$a_{n+1}$ を左辺にまとめて，

$(qa_n+r)a_{n+1}=pa_n$

よって，$qa_n+r\not=0$ のとき

$a_{n+1}=\displaystyle\frac{pa_n}{qa_n+r}$　【基本分数型】

【基本分数型】の漸化式の問題と解答

実際に，【基本分数型】の漸化式を解いてみましょう。

問題

解説（授業）

$a_{n+1}=\displaystyle\frac{a_n}{3a_n+1}$

まず，漸化式を見て【基本分数型】であることに瞬時に気付いてください。これがスタートラインです。次に，【基本分数型】の解法を言えるようにしましょう。言えますか？

確実に言えるようにしてくださいね。とにかく逆数をとることがポイントとなりますが，逆数をとったあとの分母が $0$ になるとマズイので，$a_n\not=0$ を確認する必要が生じます。

と言っても，次の項目の答案にあるように「初項と漸化式から $a_n\not=0$」と書いておけば十分です。

詳しく証明する場合は次の（参考）の通りです。
背理法を用います。
(背理法：成り立たないことを仮定して矛盾を導く)

さて，漸化式の両辺の逆数をとると，次のようになります。

$\displaystyle\frac{1}{a_{n+1}}=\displaystyle\frac{3a_n+1}{a_n}$

逆数をとることによって，右辺をバラバラにすることができて，

$\displaystyle\frac{1}{a_{n+1}}=3+\displaystyle\frac{1}{a_n}$

ここで，$\displaystyle\frac{1}{a_n}=b_n$ とおくと

$b_{n+1}$ $=$ $b_n$ $+3$
となりますね。
さて，この漸化式を見てどの型か分かりますか？
これは見て瞬時に気付かなくてはなりません。
【等差型】$a_{n+1}=a_n+d$
となっていますね。

$\left\{b_n\right\}$ の「初項」「公差」を確認すれば $b_n$ が求まります。
初項 $b_1=\displaystyle\frac{1}{a_1}=4$，
公差 $3$ の等差数列より，
$b_n$ $=$ $4$ $+$ $(n-1)\cdot3$
よって，$b_n=3n+1$
あとは，逆数をとり直せば $a_n$ が求まりますね。
$\displaystyle\frac{1}{a_n}=b_n$ より $a_n=\displaystyle\frac{1}{b_n}$ であるから，

$a_n=\displaystyle\frac{1}{3n+1}$　(答)

【基本分数型】は逆数とって $\displaystyle\frac{1}{a_n}=b_n$ とおくことさえ知っていれば難しくありません。しっかりパターン暗記しておきましょう。
ちなみに，$a_n\not=0$ の確認についてですが，問題文に誘導で「$\displaystyle\frac{1}{a_n}=b_n$ とおいて～」などと書かれている場合は，確認不要です。自分でおく場合のみ必要となることも一応知っておいてください。

答案

$a_{n+1}=\displaystyle\frac{a_n}{3a_n+1}$

初項と漸化式から $a_n\not=0$ より，

漸化式の両辺の逆数とって，

$\displaystyle\frac{1}{a_{n+1}}=\displaystyle\frac{3a_n+1}{a_n}$

よって，

$\displaystyle\frac{1}{a_{n+1}}=3+\displaystyle\frac{1}{a_n}$

$\displaystyle\frac{1}{a_n}=b_n$ とおくと，

$b_{n+1}$ $=$ $b_n$ $+3$　【等差型】

$\left\{b_n\right\}$ は，

初項 $b_1=\displaystyle\frac{1}{a_1}=4$，

公差 $3$ の等差数列より、

$b_n$ $=$ $4$ $+$ $(n-1)\cdot3$

よって，$b_n=3n+1$

$\displaystyle\frac{1}{a_n}=b_n$ より $a_n=\displaystyle\frac{1}{b_n}$ であるから，

$a_n=\displaystyle\frac{1}{3n+1}$　(答)

【基本分数型】の漸化式がこれで「解ける！」

【基本分数型】$a_{n+1}=\displaystyle\frac{pa_n}{qa_n+r}$