2023年度滋賀医科大学 数学 解答速報
・2023年度（令和5年度）滋賀医科大学 数学 解答速報(pdf：2MB）
（注意）早さを優先しているので「精度」「分かりやすさ」は保証されていません。あらかじめご了承ください。
2023年度滋賀医科大学 数学 所感
大問１（円と放物線の共有点）
(1)グラフを描いてみれば $N$ が奇数となるのは，円と放物線が原点で接するときであることがすぐに分かる。ここは計算ではなく図形的に解きたい。
(2) $N=2$ となるのはどういうときか図示してみる。
(ア)円と放物線が 2 点で交わる
(イ)円と放物線が 2 点で接する
の 2 パターンであることが分かる。(ア) は図形的に考えれば簡単。(イ) は方程式を立てて計算で求めていく。
このとき，$x^2$ を消去するか $y$ を消去するかの 2 択であるが，円と放物線の共有点は $x^2$ を消去するのが定石である。（そのため，最初に $x^2$ を消去する作業をしていた。）$y$ を消去しても解けるが，4 次方程式となるので煩雑。
また，重解をもつからといってすぐに判別式 $D=0$ として終えないように。2 次方程式において解の範囲に条件がある場合は「解の配置」として解く必要がある。解の配置は「軸」「頂点」「端点」の位置に着目するのであった。
(3) 共有点をもたないのは「実数解をもたない」ときであるが，判別式 $D<0$ で終えないように。ここも解の配置で丁寧に解こう。(1)(2)を利用するなら＜別解＞のように $N=4$ のときを考えると良い。作業量に大きな差はないのでどちらでも良いけど「両方の解法で解いて答えが一致することを確認」して検算すると良い。滋賀医に限らず、問題が難しい試験においては、解ける問題で落とさないことが最重要。検算ができるときは積極的に行うこと。
大問２（ベクトル，図形）
(1)図形的に解き進めても良いが，ベクトルを利用すれば平行であることの証明は容易。四角形の作り方は全部で 15 通りあるが，条件が同じものは 1 つと見て良い。どう分けて考えれば良いかの判断が難しい。
(2) (1)と同様で，どう分けて考えれば良いかの判断が難しい。
(3) 図形的に考える選択もあるかもしれないが，ここはベクトルの計算で突き進んだ方が無難。大問2の中では、最もマルをもらいやすい。
大問３（確率，ポリアの壺）
前半(1)(2)ここは典型問題なので落とせない。
後半は「ポリアの壺」と呼ばれる有名問題。
(1)素直に計算すれば良い。「ポリアの壺」を知らなくても問題なく求められるはず。ちなみに、今回のように具体的なものを聞かれているときは規則がないか必ず疑うこと。別に，得点をあげるための設問ではない。もし規則が見えないときは，計算ミスを疑ったり，続きを求めてみたりすると良い。
(2) (1) の結果から $\displaystyle\frac{a}{a+b}$ であることは推測できる。そして，この証明が難しい。自然数で成り立つことの証明は「数学的帰納法」が定石。ただ，仮定($n=k$ での成立)部分の使い方が厄介である。ここでの仮定は，あくまでも $k$ 回目での成立を仮定していることに注意したい。つまり，最初の玉の個数は関係ない。簡単に説明すると，ここで仮定しているのは
赤 $A$ 個，白 $B$ 個で始めて，$k$ 回目に赤玉を取り出す確率が $$\displaystyle\frac{A}{A+B}$$ ということである。ここの $A$ と $B$ は自然数であればなんでも良いということ。ここが理解できていれば難しくない。とは言え，初見では厳しいだろう。
大問４（微積分）
(1)簡単
(2)簡単
(3)簡単
(4)んー、ムズい！
ここは，方程式を計算問題として実際に解くのか，グラフを利用するのかなど方針が立てにくい。具体的に代入して解を探す方針に決めたとしても，簡単に見つかるというわけではないので迷いが生じる。時間配分にも依るけど，気付いて解ききるのは難しかったかもしれない。とは言え「具体的に代入して解を見つける」という手法はかなり重要。解の個数が判明していればその個数だけ見つければ良い。「解を見つけて他に解がないことを示す」は定石として身に付けておくべき手法だろう。
全体
2022年度と比べて「やや易化」か。一部を除いて解きやすい問題が多かった。解きにくい問題は
・大問２(1)(2)
・大問３Ⅱ(2)
・大問４(4)
この辺り。上記の問題は解けそうなもの以外は部分点狙いで撤退し，他の問題をどこまで完璧に仕上げることができたかが勝負。
