数学の勉強方法（数学の力が伸びない、数学の力を伸ばしたい人へ）

実際に数学の力が伸びた実績のある方法を伝授します！

数学の問題を解けるようになるために必要なこと

　本題に入る前に、前提として、数学の問題を解けるようになるために必要なことを確認しておきます。

定義と公式を覚える（理解する）

　数学の問題を解く上で定義や公式はどうしても必要になるので、教科書にあるような公式はすべて暗記必須です。問題を解く際「公式なんだっけ…あ、思い出した」もダメです。瞬時に言えるようにしてください。理想は、公式をすべて書き出せる状態です。例えば「三角比の分野の公式をすべて述べよ」に対して「相互関係、正弦定理、余弦定理、三角形の面積公式」をすべて答えられることです。ただ、これは少しハードルが高いので「正弦定理は？」などと聞かれてそれが答えられればひとまずはOKです。
　加えて言うと、公式は「暗記のみ」で良いものと「暗記した上で理解するもの」や「暗記した上で証明できるようにするもの」があります。これは、数学をどこまで伸ばしたいかによって話は変わってきます。それについては、別の記事で触れます。数学を武器にしたい、数学の入試問題が難しい大学を志望しているという人は、証明までできた方が良いでしょう。

定石（典型問題の解法）を身に付ける

　公式を覚えたら、次は定石の習得です。
・2次関数の最大最小は”平方完成”
・自然数について成り立つことの証明は”数学的帰納法”
・「$1\pm\cos x$」は”半角の公式”
といった、いわゆる問題のパターン化です。こういった定石を初見で発見するのは困難なので「こういうときはこうする」といった定石を身に付けておくことが必要です。
　どこまで定石として身に付けるかについては、目標によるでしょう。

目標	押さえる定石（参考）
難関大学志望 受験で数学を武器に	青チャートの 応用例題まで
国公立志望 数学で負けない程度に	黄チャートの 応用例題まで
定期考査でそれなりに	黄チャートの 基本例題まで

が目安でしょうか。ただ、どこまでやるかは個々によって違うので一概に言えません。志望校のレベル、志望校の数学の問題のレベル、自分の数学のレベル、自分の数学以外のレベルなど、様々な要素によって決まります。迷ったら黄チャートが無難でしょう。

数学の問題を解けるようになるための学習法

　それでは、本題です。実際にどのように学習するのが良いのか触れていきます。

定義、公式、定石（典型問題の解法）を習得

＜使用教材例（参考）＞

目的	教材例（参考）
①定義、公式の定着	教科書 教科書傍用問題集 など
②定石の定着	黄チャート（の例題、応用例題） 基礎問題精講 など

まずは準備です。
①公式を使うだけで解ける問題
②典型問題
を通して、とにかく公式に触れまくってください。飽きるくらいです。「公式が必要になった際、その公式を瞬時(1秒以内)に答えられる」くらいです。典型問題の解法も「問題を見て3秒以内(遅くとも10秒以内)で方針が答えられる」くらいにしましょう。
　あまり楽しくない作業ですが、公式や典型問題について「なんだっけ…」の状態で次に進んでも、あまり効果的とは言えません。次のステップに進むタイミングの目安は、使用教材のおおよそ７割以上を仕上げたあたりです。

応用問題で実践的な力を身に付ける（１番伝えたいこと）

＜使用教材例（参考）＞

目的	教材例（参考）
定石の定着 定石から考える練習	黄チャート（のExercise） チョイス（河合塾シリーズ） 医学部攻略の数学（河合塾シリーズ） など

ここからが１番伝えたいことです！

　入試の基本～標準レベルの問題を、自力で解く練習をします。目的は「定石の定着（と補充）」と「定石をもとにして答案を作り上げる実践的な力の養成」です。そして、ここでの取り組み方が数学の力に大きく影響します。まず、改めて結論を言うと…

　具体的に問題を見ながら説明します。（未学習の分野でも言いたいことは伝わると思います）

この問題の解答はこちら

＜ダメな例１（解答暗記に走る）＞
もやや「んー、わからん！解答見ちゃおう！」
もやや「ふむふむ…なるほど分からん！よく分からないけど覚えておこう！」
もやや「覚えた！しかも、何も見ずに書けた！完璧！余裕ですな」
（一週間後）
もやや「？…(2) では(相加平均)$≧$(相乗平均)使った気がするんだけど…」
もやや（解答チラ見）
もやや「…あ！そうそう！なんか知らんけど $x$ 軸とのなす角を文字でおいて進めるんだった！思い出した！」
もやや「はい、できた！！」

＜ダメな例２（答え合ってたからヨシ！）＞
もやや「ほう…なかなか興味深い問題ですなぁ…」
もやや「…わからん！いろいろ試すか！」
もやや「2 点間の距離？直線BCの方程式？…うーん…」
（１時間後）
もやや「なんか、なす角を文字でおいてみたら(1)いけた！」
もやや「(2)は最大値か…こんな式、初めて見たなぁ…」
もやや「因数分解？おきかえ？…うーん…」
（１時間後）
もやや「なんかよくわからないけど、(相加平均)$≧$(相乗平均)使ってみたら答え合った！ヨシ！」

　ダメな例の共通していることは「なぜ」を無視していることです。１つ目の解答暗記は、疑問をすべて丸投げしています。２つ目でも「なぜこれで解けたのか」を無視していますね。では、実際にはどのように取り組むべきなのか見てみましょう。

＜良い例１（解けなかった場合）＞
Aさん「分からないから解答見よう…」
Aさん「え～、なんで、なす角を文字でおいてるの？」
Aさん（似た問題振り返り…）
Aさん「あー、そうか『直線のなす角は $\tan =(\text{傾き})$』を使うんだった！たしかに、なす角の設定が必要だね！」
Aさん「(2)…え、なんでいきなりこんな変形してるの？」
Aさん（最大，最小問題について振り返り…）
Aさん「あー、最大最小問題は「平方完成」「合成」「(相加平均)$≧$(相乗平均)」「微分」のどれかで考えるんだった。確かにこの中なら(相加平均)$≧$(相乗平均)かなぁ」
Aさん「直線のなす角と(相加平均)$≧$(相乗平均)の最大最小の問題だったのかぁ、どちらも抜けちゃってたなぁ。復習しておかないと。」

＜良い例２（解けた場合）＞
Bくん「(1)は直線のなす角の話だから「$\tan =(\text{傾き})$」を利用するのが定石だったな。直線と $x$ 軸のなす角を文字でおいて進めるか」
Bくん「…よし、(1)はいけた。(2)は最大値の問題か。さてこの式どうしようか。解法の選択肢は4つあるけど、２次関数じゃないから平方完成は違うな。合成もさすがにないな。分数だし(相加平均)$≧$(相乗平均)は可能性あるな。とりあえず、(相加平均)$≧$(相乗平均)使う方針で進めてみるか。ダメなら微分しよう。」
Bくん「(相加平均)$≧$(相乗平均)でいけそう…いけた！」
Bくん「解答は…同じ方針か。『直線のなす角』と『(相加平均)$≧$(相乗平均)の最大最小』の問題だったな。」

（参考）今回の問題の正しい思考（イメージ）

　入試の基本～標準レベルの問題は、定石を考えて進めれば解ける問題がほとんどです。解けないのは必要な定石が抜けている状態です。
　解けなかった問題の解答を見て「なぜ」を明確にすることで「抜けている定石（または新しい定石）の確認」ができます。
　変形や方針の「根拠」を明確にしながら解くことで「定石をもとに答案を作り上げる力の養成」ができます。
　これを実践すれば、数学の力は着実に伸びていき、きっと「景色（問題の見え方）」が変わるでしょう。

自力で解決できないとき

・「なぜ」を放置しない
・「根拠」を明確にする
　これらは、簡単にできることではないでしょう。実際、毎週、私が生徒に対し授業という形で伝え続けたことによって、実を結んだものです。それでも、意識１つ変えるだけで、大きく成長できるはずです。また、押さえておくべき定石については、知っていると差がつく定石で記事にしていくので，参考にしてもらえればと思います。
　とはいえ、どうしても解決できない場合もあるでしょう。
・解答を見て「なぜこの解法なの？」「なぜこの変形するの？」
・「この問題のどの部分が定石なの？」
　考えても分からないときは学校や塾（通っているなら）の先生など、信頼できる人に質問しましょう。今の時代であれば調べて解決することも可能かもしれません。ただ、調べた先によっては間違った解釈をしてしまう可能性もあるので注意が必要です。できれば複数のページから信頼できそうなものを選択しましょう。

　ちなみに、京都府立医科大学に合格した生徒は、自習で疑問が生じたとき、次のような質問をよくしてくれていました。（こういう疑問をもつことが重要ということです）

　聞ける人がいなくて困っているのであれば、私に質問してくれても構いません。Twitterまたはメールでご連絡ください（Twitterの方がベター）。もちろん質問の回答以外でこちらから連絡することは一切ないのでご安心ください(笑)、ただ、こちらの状況にもよりますが、回答まで時間がかかる場合もありますので、それだけはご了承ください。

最後に

　長々と話してきましたが、最も大事にして欲しいことはどんな小さなことでも「なぜ」の意識をもち、それを解決することです。まあいいかで済ませていると、その「なぜ」の蓄積により、疑問まみれになっていきます。
　それでは最後に１つ疑問を投げかけて終わりにします。