2023年度神戸大学（理系、前期）数学 問題・解答
・問題（pdf：671KB）
・神戸大学 数学 解答速報（pdf：3MB）
2023年度神戸大学（理系、前期）数学 所感
大問１ 数列「数学的帰納法」など
(1)簡単。グラフを描いてみれば明らか。
(2)自然数について成り立つことの証明なので数学的帰納法。普通に進めていけば詰まることなく証明できる。
(3) $a≦1$ のときは (2) の結果を用いて漸化式が作成できる。$a>1$ のときも同様に考えられることは予想できるだろう。完答したい。
大問２ 2次関数「解の配置」
(1)2 次方程式の「解の配置」の典型問題。解の配置の問題は「軸」「頂点」「端点」の位置に着目して不等式を立てる（「頂点」は「判別式」でも可）。
(2)実部の話になるが，実数解のときはその実数解が実部となるので同様に進めればよい。虚数解のときは実部を抜き出して考えればよい。特に難しい部分はない。
(3) (2) ができれば，同じ手順で解ける。不等式はやや複雑になるので図示するときは慎重に。ここも完答したい。
大問３ 確率「和が偶数，和が〇以上」
(1) 2 数の和が偶数となるのは
「$\text{偶数}+\text{偶数}$」または「$\text{奇数}+\text{奇数}$」
の 2 パターンである。よくある典型問題なので迷わず解きたい。
(2) 3 数の和が偶数となるのは
「$\text{偶数}+\text{偶数}+\text{偶数}$」または「$\text{偶数}+\text{奇数}+\text{奇数}$」
の 2 パターンである。基本的には (2) と同様だが，$n=2$ のときは，偶数と奇数がそれぞれ 2 枚しかないため，「$\text{偶数}+\text{偶数}+\text{偶数}$」となることはない。よって，場合分けが必要になる。結局，同じ確率となるが，分けて考えないと減点されるだろう。
(3)ここは少し厄介である。不等式の整数解の個数に帰着する。不等式の整数解の個数は主に 3 通りの考え方がある。
[1] 「方程式の整数解」に帰着させる
[2]「格子点」に帰着させる
[3] 数える
である。なんのことか分からない場合は「方程式の整数解」「不等式の整数解」について確認しておいて欲しい。（ここで説明すると脱線するので）
[1]の方針で解ける場合はこれが最も簡単であるが，うまくいかないので[2]の方針で格子点と見て求めた。ちなみに，解答では余事象をとったがそのまま求めることも可能。ただし，領域が複雑になるので余事象で考えた方がベター。格子点は「$x=k$ または $y=k$ 上の格子点の個数を考えて $∑$ に入れる」のが基本である。怪しい人はこれを機に確認しておこう。
大問４ 四面体とベクトル
(1)必要な情報は与えらているので，ベクトルの大きさとして計算すればよい。簡単。
(2)ベクトルと平面の垂直条件を用いてばただの計算問題。計算を頑張るだけ。
(3) (2) で $\overrightarrow{\text{OH}}$ について考えたので，△ABC を底面と見て求めればよい。ここも計算を頑張るだけ。ただし，(2) で $\overrightarrow{\text{AB}}・\overrightarrow{\text{AC}}=0$ から 直角の存在には意識を向けられるように。
●別解について（最重要）
むしろ別解について考えるのが重要だろう。別解を見て「気づかない」と思った人は要注意である。四面体を考える上で必ずチェックすべきことがある。
・直角がないか
・等脚四面体かどうか
・対称面（三角形）が存在しないか
・等面四面体かどうか
やはり詳しく説明すると脱線するので，簡単な説明のみで済ませるが，
・「等脚四面体（3辺の長さが等しい四面体）」であれば，垂線の足が三角形の外心となる。
・「対称面が存在する」場合，その三角形を底面とする 2 つの四面体に分割する。
・「等面四面体（4つの三角形がすべて合同）」であれば，直方体に埋め込む。
意識した上で見れば，△OAM に関して対称であることに気付ける。このときの解法は別解に記した通りである。
今回は誘導があったので無駄な計算をさせられたが，体積を求めるだけであれば $\overrightarrow{\text{OH}}$ が不要であることに気付くだろうか。(2) がなかったのであれば，どちらの解法が良いかは明らかだろう。
大問５ 媒介変数，微積分（数学Ⅲ）
(1)媒介変数表示の微分法。特に難しくないだろう。ちなみに媒介変数表示の場合の第 2 次導関数については大丈夫だろうか。神戸大が，以前出題したことのある話である。（ここでは省略）
(2)増減表からグラフを描くだけである。解答では両端における導関数の極限を求めた。これは、その点における接線の傾きを求めている。今回でいうと，原点付近の形（①原点からどのくらいの傾きで↗に移動しているか，②原点に向かってどのくらいの傾きで↖に移動しているか）を調べていることになる。ここまで調べる必要があるかどうかは不明だが，「概形をかけ」の場合は調べておいた方が無難。今回は省略したが，凹凸も調べた方が無難かもしれない。（第 2 次導関数が必要）
(3)ただの計算問題である。やや複雑な三角関数の式となるが基本通り「次数下げ」していけばよい。
